Die in Aufgabe 3.c gezeichnete Parabel beschreibt den Zusammenhang zwischen der Stückzahl z und dem Umsatz u.

Gib an, um welchen Funktionstyp es sich handelt.

Gib die allgemeine Form des entsprechenden Funktionsterms an.

✅ Lösung

Der Graph ist eine Parabel. Der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Umsatz wird also durch eine Quadratische Funktion beschrieben.

Die allgemeine Form des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion lautet \(a \cdot x^2 + b \cdot x +c\).

💡 Kompetenzen

  • Erkennen einer Parabel als Graph einer Quadratischen Funktion
  • Nennen des allgemeinen Funktionsterms einer Quadratischen Funktion

Bestimme den Funktionsterm, der den Graphen beschreibt. Hierfür gibt es zwei alternative Wege.

1. Berechne die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

❗ Tipp

Sind \((x_1|y_1)\), \((x_2|y_2)\) und \((x_3|y_3)\) drei Punkte einer Parabel, dann muss für alle drei Punkte die Funktionsgleichung \(y= a \cdot x^2 + b \cdot x + c\) beim Einsetzen der Koordinaten wahr sein. Wir erhalten somit drei Gleichungen für die drei Variablen \(a\), \(b\) und \(c\):

\(\left| \begin{array}{l}{y_1} = a \cdot {x_1}^2 + b \cdot {x_1} + c\\{y_2} = a \cdot {x_2}^2 + b \cdot {x_2} + c\\{y_3} = a \cdot {x_3}^2 + b \cdot {x_3} + c\end{array} \right.\)

📝 Hilfe
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💻 Anleitung

So bestimmst du mit dem TI-Nspire CX II-T CAS aus drei Punkten (hier \((2|6{,}4)\), \((4|9{,}6)\) und \((7|8{,}4)\)) den Funktionsterm \(f(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c\) der Quadratischen Funktion \(f\), so dass die Punkte auf dem Graph (d.h. der Parabel) liegen.

 

✅ Lösung

Wir nutzen die drei Wertepaare \((13000|35100)\), \((15000|37500)\) und \((17000|39100)\).

Rechnerische Lösung

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= u(13000)\\37500 &= u(15000)\\39100 &= u(17000)\end{aligned} \right.}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\37500 &= 225000000 \cdot a + 15000 \cdot b + c\\39100 &= 289000000 \cdot a + 17000 \cdot b + c\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \rightarrow {\rm{I'}}:\;-35100 = -169000000 \cdot a - 13000 \cdot b - c}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\2400 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\4000 &= 120000000 \cdot a + 4000 \cdot b\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{{}}\\{\left| { \cdot \left( { - 2} \right)} \right. \rightarrow {\rm{II'}}:\;-4800 = 112000000 \cdot a - 4000 \cdot b}\\{\left| { + \;{\rm{II'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\2400 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\ - 800 &= 8000000 \cdot a\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{}\\{ \Rightarrow a =  - 0{,}0001}\end{array}}&\begin{array}{l}\\\left. \begin{array}{l}\\\end{array} \right\} \Rightarrow b = 4\end{array}&{\left. \begin{array}{l}\\\\\end{array} \right\} \Rightarrow c = 0}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}0 &= c\\4 &= b\\ - 0{,}0001 &= a\end{aligned} \right.}\end{array}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

u(z):=a*z^2+b*z+c
solve({35100=u(13000),37500=u(15000),39100=u(17000)},{a,b,c}) → {a=-0.0001, b=4, c=0}

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

💡 Kompetenzen

  • Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner Form mit Hilfe von drei Punkten
  • Berechnen der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen mit dem "linSolve"-Befehl (💻)

2. Leite den Funktionsterm durch Kombinieren der Zusammenhänge zwischen Stückzahl, Preis und Umsatz her.

❗ Tipp

Der Umsatz ist das Produkt aus Stückzahl und Stückpreis, der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Stückpreis lautet \(p(z)=-0{,}0001 \cdot z +4\).

✅ Lösung

\(\begin{aligned}u(z) &= p(z) \cdot z\\ &= \left( { - 0{,}0001 \cdot z + 4} \right) \cdot z\\ &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\end{aligned}\)

💡 Kompetenzen

  • Modellieren eines Sachverhalts
  • Einfache Termumformungen

Überprüfe dein Ergebnis rechnerisch anhand von drei Wertepaaren der Wertetabelle.

📝 Hilfe
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Interaktive Übungen hierzu (realmath.de)

✅ Lösung

Einsetzen der Wertepaare \((13 000|35 100)\), \((15 000|37 500)\) und \((17 000|39 100)\) in die Funktionsgleichung \(u = - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\) ergibt:

Rechnerische Lösung
\(\begin{aligned}35100 &= - 0{,}0001 \cdot {13 000^2} + 4 \cdot 13 000 & (\rm{wahr})\\37500 &= - 0{,}0001 \cdot {15 000^2} + 4 \cdot 15 000 & (\rm{wahr})\\39100 &= - 0{,}0001 \cdot {17 000^2} + 4 \cdot 17 000 & (\rm{wahr})\end{aligned}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

u(z):=-0.0001*z^2+4*z
u(13000) → 35100
u(15000) → 37500
u(17000) → 39 100

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

💡 Kompetenzen

  • Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion erfüllen
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen von Funktionswerten (💻)