Beantworte rechnerisch die vier von Herrn Zickler gestellten Fragen.

Überprüfe die Ergebnisse mit Hilfe des CAS.

"Wie hoch ist unser Umsatz, wenn wir 9 500 Stück produzieren?"

❗ Tipp

Du musst einen Termwert berechnen.

📝 Hilfe
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✅ Lösung

Zur Beantwortung der ersten Frage berechnet man den Funktionswert zur Stelle 9 500, setzt also 9 500 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.

Rechnerische Lösung
\(u\left( {9 500} \right) = - 0{,}0001 \cdot {9 500^2} + 4 \cdot 9 500 = 28 975\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

u(z):=-0.0001*z^2+4*z
u(9500) → 28 975

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Wenn die Firma 9 500 Aufkleber verkauft, liegt der Umsatz bei 28 975 €.

💡 Kompetenzen

  • Beantworten von Sachfragen durch mathematische Methoden (einfach)
  • Berechnen des Funktionswertes zu einer vorgegebenen Stelle einer Quadratischen Funktion
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen von Funktionswerten (💻)

"Wie viel Stück müssen wir produzieren, wenn wir einen Umsatz von 30 000 € erzielen wollen?"

❗ Tipp

Du musst die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen.

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p-q-Formel
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a-b-c-Formel / Mitternachtsformel
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Quadratische Ergänzung

Hinweis: Leider fehlt in diesem Video (wie übrigens in fast allen Erklärvideos zu diesem Thema) eine korrekte Erklärung für die "\(\pm\)"-Schreibweise nach dem Wurzelziehen.

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✅ Lösung

Zur Beantwortung der zweiten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 30 000, setzt also den Funktionsterm gleich 30 000 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

Rechnerische Lösung
\(\begin{aligned}u\left(z\right) &= {30000}\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z &= 30000 \quad|{-30000}\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z -{30000}&= 0\end{aligned}\)

 

Diese quadratische Gleichung löst du entweder mit der p-q-Formel

\(\begin{aligned} - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z - {30000} &= 0\quad |:\left( { - 0{,}0001} \right)\\ {z^2} - {40000} \cdot z + {300000000} &= 0\end{aligned}\\ p = -40000;\;q = {300000000}\\ {z_{1/2}} = 20000 \pm \sqrt {{{\left( { - 20000} \right)}^2} - {300000000}} \\ {z_{1/2}} = 20000 \pm 10000\\ {z_1} = 30000\;\;{z_2} = 10000\\ L = \left\{ {10000;30000} \right\}\)

 

oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel ("Mitternachtsformel")

\(a=-0{,}0001 ; b=4 ; c=-30000\\{z_{1/2}} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( { - 30000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} = \frac{{ - 4 \pm 2}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} = 30000\; ; \;{z_2} = 10000\\L = \left\{ {10000;30000} \right\}\)

 

oder aber durch quadratische Ergänzung

\(\begin{aligned}{z^2} - 40000 \cdot z + 20000^2 - 20000^2 \,{+\,300000000} &= 0\\{\left( {z - 20000} \right)^2}\,{-\,100000000} &= 0\\{\left( {z - 20000} \right)^2} - 10000^2 &= 0\\\left( {z - 20000 + 10000} \right) \cdot \left( {z - 20000 - 10000} \right) &= 0\\z = 10000 &\vee z = 30000\\L &= \left\{ {10000;30000} \right\}\end{aligned}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

u(z):=-0.0001*z^2+4*z
solve(u(z)=30000,z) → {10000,30000}

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Einen Umsatz von 30 000 € macht die Firma, wenn sie entweder 10 000 oder aber 30 000 Aufkleber verkauft.

💡 Kompetenzen

  • Beantworten von Sachfragen durch mathematische Methoden (mittel)
  • Berechnen der Stelle/n zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Quadratischen Funktion
  • Berechnen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen der Lösungsmenge einer Gleichung mit dem "solve"-Befehl (💻)

"Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Umsatz?"

❗ Tipp

Du muss die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen.

✅ Lösung

Zur Beantwortung der Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 0, setzt also den Funktionsterm gleich 0 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

Rechnerische Lösung
\(\begin{aligned}u\left(z\right) &= 0\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z &=0\end{aligned}\)

 

Diese Quadratische Gleichung löst du am einfachsten, wenn du auf der linken Seite der Gleichung den Faktor \(- 0{,}0001 \cdot z\) ausklammerst.

\(\begin{aligned} - 0{,}0001 \cdot z \cdot \left( {z - 40000} \right) &= 0\\z = 0 &\vee z = 40000\\L &= \left\{ 0\,;\,40000 \right\}\end{aligned}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

u(z):=-0.0001*z^2+4*z
solve(u(z)=0,z) → {0,40000}

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Überhaupt Umsatz macht die Firma, wenn sie mehr als 0 und weniger als 40 000 Aufkleber verkauft.

💡 Kompetenzen

  • Beantworten von Sachfragen durch mathematische Methoden (mittel)
  • Berechnen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen der Lösungsmenge einer Gleichung mit dem "solve"-Befehl (💻)
  • Bestimmen der Nullstellen einer Funktion mit dem "zeros"-Befehl (💻)

"Bei welcher Stückzahl ist der Umsatz am größten, wie hoch ist er dann und zu welchem Preis müssen wir dazu unsere Aufkleber verkaufen?"

❗ Tipp Du musst den Funktionsterm in die Scheitelpunktform umwandeln.
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💻 Anleitung

So wandelst du mit dem TI-Nspire CX II-T CAS den Term einer Quadratischen Funktion (z.B. \(f(x)=-0{,}4 \cdot x^2+4 \cdot x + 2\)) aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um.

 

✅ Lösung

Zur Beantwortung der vierten Frage bestimmt man die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel.

Rechnerische Lösung

Hier wandelt man den Funktionsterm zuerst aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um und liest dann die Koordinaten des Scheitelpunktes ab.

\(\begin{aligned}u\left( z \right) &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 40000 \cdot z} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 2 \cdot 20000 \cdot z} + 20000^2 - 20000^2\right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{{\left( {z - 20000} \right)}^2} - 400000000} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot {\left( {z - 20000} \right)^2} + 40000\end{aligned}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

u(z):=-0.0001*z^2+4*z
Extremum(u(z)) → (20000,40000)

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Da die Parabel wegen \(a=-0{,}0001 < 0\) nach unten geöffnet ist, liegt der größte Funktionswert an der Stelle des Scheitelpunktes, also bei \(z = 20000\) mit dem Funktionswert \(u=40000\).

Wenn die Firma wöchentlich 20 000 Aufkleber verkauft, dann ist der Umsatz am größten und beträgt 40 000 €.

Um diesen maximalen Umsatz zu erzielen, muss ein Aufkleber wegen \[p(20000)=-0{,}0001 \cdot 20000 + 4 = 2\]zum Preis von 2,- € verkauft werden.

💡 Kompetenzen

  • Beantworten von Sachfragen durch mathematische Methoden (schwer)
  • Umwandeln des Terms einer Quadratischen Funktion aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Umwandeln des Terms einer Quadratischen Funktion aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform mit dem "completeSquare"-Befehl (💻)
  • Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunktes einer Quadratischen Funktion aus dem Term der Scheitelpunktform