Die in Aufgabe 5.c gezeichnete Gerade beschreibt den Zusammenhang zwischen der Stückzahl z und den Selbstkosten k.

Gib an, um welchen Funktionstyp es sich handelt.

✅ Lösung

Der Graph ist eine Gerade. Der Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und den Selbstkosten \(k\) wird durch eine lineare Funktion beschrieben.

💡 Kompetenzen

  • Erkennen einer Geraden als Graph einer Linearen Funktion

Bestimme den Funktionsterm, der den Graphen beschreibt. Hierfür gibt es zwei alternative Wege.

1. Berechne mit zwei bekannten Formeln zuerst den Steigungsfaktor \(m\) und dann den Achsenabschnitt \(n\).

✅ Lösung

Wir nutzen die beiden Punkte \((13000|34400)\) und \((17000|37600)\).

Rechnerische Lösung
\(\begin{array}{l} m = \frac{{37600 - 34400}}{{17000 - 13000}} = \frac{4}{5} = 0,8\\n = 34400 - 0,8 \cdot 13000 = 24000\end{array}\)

 

Daher lautet der Funktionsterm \(k\left(z\right) = 0{,}8 \cdot z + 24000\).

💡 Kompetenzen

  • Berechnen der Parameter \(m\) und \(n\) einer Linearen Funktion mit Hilfe von Formeln ()

2. Berechne den Steigungsfaktor \(m\) und den Achsenabschnitt \(n\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

✅ Lösung

Wir nutzen die beiden Punkte \((13000|34400)\) und \((17000|37600)\).

Rechnerische Lösung

\(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 34400 &= k(13000) \\ 37600 &= k(17000) \end{aligned}} \right.} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned}34400 &= m \cdot 13000 + n\\37600 &= m \cdot 17000 + n\end{aligned}} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right.}\\{\left| { + {\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned}34400 &= m \cdot 13000 + n\\3200 &= m \cdot 4000\end{aligned}} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{ \Rightarrow m = \frac{3200}{4000} = 0{,}8}\end{array}}&{\left. {\begin{array}{l}{}\\{}\end{array}} \right\} \Rightarrow n = 34400 - 0{,}8 \cdot 13000 = 24000}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 24000 &= n \\ 0{,}8 &= m \end{aligned}} \right.} \end{array}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

k(z):=m*z+n
solve({34400=k(13000),37600=k(17000)},{m,n}) → {0.8,24000}

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Daher lautet der Funktionsterm \(k\left(z\right) = 0{,}8 \cdot z + 24000\).

💡 Kompetenzen

  • Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(m\) und \(n\) einer Linearen Funktion mit Hilfe von zwei Punkten
  • Berechnen der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen
  • Bestimmen der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen mit dem "linSolve"-Befehl (💻)

Überprüfe dein Ergebnis rechnerisch anhand von zwei Wertepaaren.

✅ Lösung
Rechnerische Lösung

Einsetzen der Wertepaare \((13000|34400)\) und \((17000|37600)\) in die Funktionsgleichung \(k = 0{,}8 \cdot z + 24000\) ergibt:

\(\begin{array}{l}34400 = 0,8 \cdot 13000 + 24000 \quad (wahr)\\36000 = 0,8 \cdot 15000 + 24000 \quad (wahr)\\37600 = 0,8 \cdot 17000 + 24000 \quad (wahr)\end{array}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

k(z):=0.8*z+24000
k(13000) → 34400
k(17000) → 37600

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

💡 Kompetenzen

  • Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion erfüllen
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen von Funktionswerten (💻)