Die in Aufgabe 6.c gezeichnete Parabel beschreibt den Zusammenhang zwischen der Stückzahl z und dem Gewinn g.

Gib an, um welchen Funktionstyp es sich handelt.

Gib die allgemeine Form des entsprechenden Funktionsterms an.

✅ Lösung

Da es sich bei dem Graphen um eine Parabel handelt, wird der Zusammenhang zwischen der Stückzahl z und dem Gewinn g durch eine Quadratische Funktion beschrieben.

Die allgemeine Form des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion lautet \(f(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c\).

💡 Kompetenzen

  • Erkennen einer Parabel als Graph einer Quadratischen Funktion ()
  • Nennen des allgemeinen Funktionsterms einer Quadratischen Funktion

Bestimme den Funktionsterm, der den Graphen beschreibt. Hierfür gibt es zwei alternative Wege, den ersten davon musst du mit Hilfe des CAS beherrschen.

1. Berechne die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

✅ Lösung

Wir nutzen die drei Wertepaare\((13000|700)\), \((15000|1500)\) und \((17000|1500)\), setzen diese in die Funktionsgleichung \(g=a \cdot z^2 + b \cdot z +c\) ein und lösen das entstehende Lineare Gleichungssystem.

Rechnerische Lösung

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= g(13000)\\1500 &= g(15000)\\1500 &= g(17000)\end{aligned} \right.}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\1500 &= 225000000 \cdot a + 15000 \cdot b + c\\1500 &= 289000000 \cdot a + 17000 \cdot b + c\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \rightarrow {\rm{I'}}:\;-700 = -169000000 \cdot a - 13000 \cdot b - c}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\800 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\800 &= 120000000 \cdot a + 4000 \cdot b\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{{}}\\{\left| { \cdot \left( { - 2} \right)} \right. \rightarrow {\rm{II'}}:\;-1600 = 112000000 \cdot a - 4000 \cdot b}\\{\left| { + \;{\rm{II'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\800 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\ - 800 &= 8000000 \cdot a\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{}\\{ \Rightarrow a =  - 0{,}0001}\end{array}}&\begin{array}{l}\\\left. \begin{array}{l}\\\end{array} \right\} \Rightarrow b = 3{,}2\end{array}&{\left. \begin{array}{l}\\\\\end{array} \right\} \Rightarrow c = -24000}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}-24000 &= c\\3{,}2 &= b\\ - 0{,}0001 &= a\end{aligned} \right.}\end{array}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

g(z):=a*z^2+b*z+c
solve({700=g(13000),1500=g(15000),1500=g(17000)},{a,b,c}) → {a=-0.0001, b=3.2, c=-24000}

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Daher lautet der Funktionsterm \(g(z)=-0{,}0001 \cdot {z^2} +3{,}2 \cdot z -24000\).

💡 Kompetenzen

  • Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner Form mit Hilfe von drei Punkten
  • Berechnen der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen mit dem "linSolve"-Befehl (💻)

2. Leite den Funktionsterm durch Kombinieren der Zusammenhänge zwischen Stückzahl, Umsatz, Selbstkosten und Gewinn her.

❗ Tipp

Der Gewinn ist die Differenz aus Umsatz und Selbstkosten, der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Umsatz lautet \(u(z)=-0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\), der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Selbstkosten lautet \(k(z)=0{,}8 \cdot z + 24000\).

✅ Lösung
\(\begin{aligned}g(z) &= u(z) - k(z)\\ &= -0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z - \left( 0{,}8 \cdot z + 24000 \right) \\ &=-0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z - 0{,}8 \cdot z - 24000 \\ &=-0{,}0001 \cdot {z^2} +3{,}2 \cdot z -24000 \end{aligned}\)

 

💡 Kompetenzen

  • Modellieren eines Sachverhalts
  • Einfache Termumformungen

Überprüfe rechnerisch, ob dein Funktionsterm den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Gewinn korrekt beschreibt.

✅ Lösung

Wir setzen die drei Wertepaare \({\rm{P}}(13000|700)\), \({\rm{Q}}(15000|1500)\) und \({\rm{R}}(17000|1500)\) in die Funktionsgleichung \(g = -0{,}0001 \cdot z^2 + 3{,}2 \cdot z - 24000\) ein und prüfen, ob die entstehende Gleichung wahr ist.

Rechnerische Lösung
\(\begin{aligned}700 &= -0{,}0001 \cdot 13000^2 + 3{,}2 \cdot 13000 - 24000 \quad (\rm{wahr})\\1500 &= -0{,}0001 \cdot 15000^2 + 3{,}2 \cdot 15000 - 24000 \quad (\rm{wahr})\\1500 &= -0{,}0001 \cdot 17000^2 + 3{,}2 \cdot 17000 - 24000 \quad (\rm{wahr})\end{aligned}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
g(13000) → 700
g(15000) → 1500
g(17000) → 1500

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

💡 Kompetenzen

  • Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion erfüllen
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen von Funktionswerten (💻)