Die Antriebskraft des Motors wird über das Getriebe und die Welle zur Schraube oder zum Schaufelrad übertragen. Diese Antriebskraft hängt unter anderem von der Drehzahl des Motors und damit indirekt von der Geschwindigkeit des Schiffes im Wasser ab. Die Messung von Geschwindigkeit und Antriebskraft bei einem Schiff ergab die folgende Wertetabelle.

Geschwindigkeit v in km/h 4 5 6 7 8
Antriebskraft FA in N 16 400  17 500   18 400 19 100    19 600

 

a) Begründe, dass der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und der Antriebskraft nicht durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann.

✅ Lösung

Wenn sich die Geschwindigkeit jeweils um \(1\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) vergrößert, so vergrößert sich die Antriebskraft nicht immer um den gleichen Wert. Außerdem muss aus physikalischen Gründen die Antriebskraft irgendwann wieder abnehmen.

Wir nehmen an, dass der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und der Antriebskraft durch eine Quadratische Funktion beschrieben werden kann.

b) Bestimme mit Hilfe von drei Wertepaaren den Funktionsterm dieser Quadratischen Funktion.

✅ Lösung

fa(v):=a·v²+b·v+c
linSolve({16400=fa(4),18400=fa(6),19600=fa(8)},{a,b,c})
a:=-100
b:=2000
c:=10000
fa(v) → -100·v²+2000·v+10000

c) Überprüfe, ob die anderen gemessenen Wertepaare die Funktionsgleichung dieser Quadratischen Funktion erfüllen.

d) Zeichne den Graphen dieser Quadratischen Funktion in einem passenden Koordinatensystem.

✅ Lösung

e) Berechne die Antriebskraft bei einer Geschwindigkeit von \(15\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).

✅ Lösung

fa(15) → 17500

Bei einer Geschwindigkeit von \(15\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) beträgt die Antriebskraft \(17500\,\rm{N}\).

f) Berechne die Geschwindigkeit bei einer Antriebskraft von \(13600\,\rm{N}\).

✅ Lösung

solve(fa(v)=13600,v) → v=2 or v=18

Die Antriebskraft beträgt \(13600\,\rm{N}\) bei den Geschwindigkeiten \(2\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) und \(18\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).

g) Berechne, bei welcher Geschwindigkeit das Schiff keine Antriebskraft mehr hat.

✅ Lösung

zeros(fa(v),v) → \(\{-10 \cdot (\sqrt{2}-1),10 \cdot (\sqrt{2}+1)\}\)
Ans⏵Decimal → {-4.14214,24.1421}

Keine Antriebskraft mehr hat das Schiff bei einer Geschwindigkeit von ca. \(24\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).

h) Berechne, bei welcher Geschwindigkeit das Schiff die größte Antriebskraft hat und wie groß diese Antriebskraft ist.

✅ Lösung

completeSquare(fa(v),v) → 20000-100·(v-10)²

Die größte Antriebskraft hat das Schiff bei einer Geschwindigkeit von \(10\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) mit \(20000\,\rm{N}\).