Zu entscheiden ist nun, ob es trotz Vollbremsung zu einem Auffahrunfall kommt oder nicht.

a) Berechne, zu welchen Zeitpunkten und an welchen Orten sich der LKW und der PKW treffen. Interpretiere die Lösungen im Sinne der Sachaufgabe.

✅ Lösung

solve(xl(t)=xp(t),t) → t=3.5 or t=4
xl(3.5) → 126
xl(4) → 136

Zu den Zeitpunkten \(3{,}5\,\rm{s}\) und \(4{,}0\,\rm{s}\) befinden sich LKW und PKW theoretisch am selben Ort. Die Lösung \(3{,}5\,\rm{s}\) gibt den Zeitpunkt an, zu dem tatsächlich beide Fahrzeuge am selben Ort \(126\,\rm{m}\) angelangt sind, also den Moment des Auffahrens. Die Lösung \(4{,}0\,\rm{s}\) gibt den Zeitpunkt an, zu der sich beide Fahrzeuge ein weiteres Mal am selben Ort, nämlich \(136\,\rm{m}\) befänden, würden sie nach dem Auffahren ihre Wege (unvermindert bzw. unbeschleunigt) gemäß der Wertetabellen fortsetzen.

b) Die Geschwindigkeit des PKW betrug zum Zeitpunkt des Beginn des Bremsvorgangs \(50\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 180\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\). Bei dieser Geschwindigkeit wird ein Mindestabstand von \(90\,\rm{m}\) empfohlen. Berechne den Abstand von LKW und PKW zum Zeitpunkt der Vollbremsung. Vergleiche den tatsächlichen Abstand mit dem gesetzlich empfohlenen.

✅ Lösung

xl(0)-xp(0) → 56

Zum Zeitpunkt des Beginns der Vollbremsung des PKW haben LKW und PKW einen Abstand von \(56\,\rm{m}\). Dieser Abstand ist zu gering.

c) Berechne, wie viel Meter früher der PKW seine Vollbremsung hätte starten müssen, damit er nicht auf den LKW gefahren wäre.

✅ Lösung

Wir machen für den Funktionsterm \(x_{\rm{P}}(t)\) den Ansatz \(x_{\rm{P}}(t)=-4 \cdot t^2+50 \cdot t + c_{\rm{neu}}\). Der Wert von \(c_{\rm{neu}}\) muss nun so gewählt werden, dass es nur einen Schnittpunkt der beiden Funktionen gibt, die Gleichung\[\begin{aligned}x_{\rm{P}}(t)&=x_{\rm{L}}(t)\\-4 \cdot t^2 +50 \cdot t + c_{\rm{neu}} &= 20\cdot t + 56\\-4 \cdot t^2 +30 \cdot t + \left(c_{\rm{neu}}-56\right) &= 0 \end{aligned}\]darf also nur eine Lösung haben. Dies ist dann der Fall, wenn die Diskriminante \(D\) den Wert \(0\) hat. Die Diskriminate ist hier\[30^2-4 \cdot (-4) \cdot \left(c_{\rm{neu}}-56\right)\]es muss also die Gleichung \(30^2-4 \cdot (-4) \cdot \left(c_{\rm{neu}}-56\right)=0\) gelöst werden.

solve(30^2-4·(-4)·(cn-56),cn) → cn=-0.25

Hätte der PKW-Fahrer also nur \(25\,\rm{cm}\), also einen Sekundenbruchteil früher gebremst, wäre der Unfall nicht passiert.