Mathematik

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    Hier gibt es Materialien zur selbstständigen Wiederholung der Bruchrechnung.

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  Bruchrechnung
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  ● So erweiterst du einen Bruch
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    Erklärung 2: Erweitern eines Bruchs

    Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben (von Null verschiedenen) Zahl zu multiplizieren. Die Zahl, mit der Zähler und Nenner multipliziert werden, nennen wir Erweiterungszahl.

    Wir schauen uns ein Beispiel an: Der Bruch \(\Large {\frac{5}{6}}\) soll mit \(7\) erweitert werden. Man schreibt:

    \[\frac{5}{6}\mathop = \limits^7 \frac{{5\,\cdot\,7}}{{6\,\cdot\,7}} = \frac{35}{42}\]

    Den Zwischenschritt \(\Large {\frac{{5\,\cdot\,7}}{{6\,\cdot\,7}}}\) rechnet man meist im Kopf aus und notiert direkt den erweiterten Bruch. Das sieht dann so aus:

    \[\frac{5}{6}\mathop = \limits^7 \frac{{35}}{{42}}\]

    Oft schreiben wir über das Gleichheitszeichen die Erweiterungszahl auf.

    Beim Erweitern eines Bruchs ändert sich der Wert des Bruchs nicht, d.h. der erweiterte Bruch \(\Large {\frac{35}{42}}\) rechts vom Gleichheitszeichen sieht zwar anders aus, hat aber den gleichen Wert wie der ursprüngliche Bruch \(\Large {\frac{5}{6}}\) links vom Gleichheitszeichen.

    Quelle: YouTube/Thomas Bonerz

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    Erklärung 3: Kürzen eines Bruchs

    Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner des Bruchs durch dieselbe (von Null verschiedene) Zahl zu dividieren. Die Zahl, durch die Zähler und Nenner dividiert werden, nennen wir Kürzungszahl.

    Wir schauen uns ein Beispiel an: Der Bruch \(\Large {\frac{35}{42}}\) soll durch \(7\) gekürzt werden. Man schreibt:

    \[\frac{35}{42}\mathop = \limits_7 \frac{{35\,:\,7}}{{42\,:\,7}} = \frac{5}{6}\]

    Den Zwischenschritt \(\Large \frac{{35\,:\,7}}{{42\,:\,7}}\) rechnet man meist im Kopf aus und notiert direkt den gekürzten Bruch. Das sieht dann so aus:

    \[\frac{{35}}{{42}}\mathop = \limits_7\frac{5}{6} \]

    Oft schreiben wir unter das Gleichheitszeichen die Kürzungszahl auf.

    Beim Kürzen eines Bruchs ändert sich der Wert des Bruchs nicht, d.h. der gekürzte Bruch \(\Large {\frac{5}{6}}\) rechts vom Gleichheitszeichen sieht zwar anders aus, hat aber den gleichen Wert wie der ursprüngliche Bruch \(\Large {\frac{35}{42}}\) links vom Gleichheitszeichen.

    Quelle: YouTube/Thomas Bonerz

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    Erklärung 4: Vollständig gekürzter Bruch / Grunddarstellung

    Lässt sich ein Bruch nicht weiter kürzen (weil Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer der \(1\) mehr haben), so sagt man, dieser Bruch sei vollständig gekürzt oder er befinde sich in der Grunddarstellung.

    Beispiele

    Der Bruch \(\Large {\frac{5}{6}}\) ist vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner nur noch die \(1\) als gemeinsamen Teiler mehr haben.

    Der Bruch \(\Large {\frac{35}{42}}\) ist nicht vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner noch die \(7\) als gemeinsamen Teiler haben.

    Regel 1: Umwandeln eines Bruches in die Grunddarstellung

    So kürzt du einen Bruch vollständig bzw. wandelst den Bruch in die Grunddarstellung um:

        1. Bestimme den ggT von Zähler und Nenner. Dieser ggT ist die größte mögliche Kürzungszahl.

        2. Kürze den Bruch durch diese Kürzungszahl (vgl. Erklärung 3)

    Beispiel

    Der Bruch \(\Large {\frac{35}{42}}\) ist noch nicht vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner noch die \(7\) als größten gemeinsamen Teiler haben.

    Wir kürzen deshalb den Bruch durch \(7\) und erhalten als vollständig gekürzten Bruch\[\frac{{35}}{{42}}\mathop = \limits_7\frac{5}{6}\]

    Quelle: YouTube/Thomas Bonerz

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    Kürze den Bruch so weit wie möglich! (3 Übungen) Lesson
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    Kürze den Bruch durch die angegebene Kürzungszahl! (2 Übungen) Lesson
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  ● So addierst du Brüche
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    Regel 4a: Addition von gleichnamigen Brüchen

    Sio addierst du gleichnamige Brüche:

    1. Addiere die Zähler der beiden Brüche.

    2. Behalte den gemeinsamen Nenner bei.

    3. Kürze das Ergebnis so weit wie möglich, d.h. bringe das Ergebnis auf die Grunddarstellung (vergleiche Regel 3).

    4. Wandle das Ergebnis gegebenenfalls in eine Gemischte Zahl um.

     

    Beispiel: Addiere \(\frac{3}{8}\) und \(\frac{7}{8}\). \[\frac{3}{8} + \frac{7}{8}\;\;\;\underbrace { = \frac{{3 + 7}}{8} = \frac{{10}}{8}}_{\scriptstyle1.\;Addiere\;die\;Zähler\atop\scriptstyle2.\;Behalte\;den\;Nenner\;bei\;}\;\;\underbrace { = \frac{5}{4}}_{\scriptstyle3.\;Kürze\;das\;Ergebnis\atop\scriptstyle\;\;\;so\;weit\;wie\;möglich}\;\;\;\,\underbrace { = 1\frac{1}{4}}_{\scriptstyle4.\;Wandle\;\;das\;Ergebnis\;in\atop\scriptstyle\;\;\;eine\;Gemischte\;Zahl\;um}\]

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  ● So subtrahierst du Brüche
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    Regel 5a: Subtraktion von gleichnamigen Brüchen

    So subtrahierst du gleichnamige Brüche:

    1. Subtrahiere die Zähler der beiden Brüche

    2. Behalte den gemeinsamen Nenner bei

    3. Kürze das Ergebnis so weit wie möglich, d.h. bringe das Ergebnis auf die Grunddarstellung (vergleiche Regel 3)

     

    Beispiel: Subtrahiere von \(\frac{{7}}{8}\) \(\frac{3}{8}\).\[\frac{{7}}{8} - \frac{3}{8}\;\;\;\underbrace { = \frac{{7 - 3}}{8} = \frac{{4}}{8}}_{\scriptstyle1.\;Subtrahiere\;die\;Zähler\atop\scriptstyle2.\;Behalte\;den\;Nenner\;bei\;}\;\;\underbrace { = \frac{1}{2}}_{\scriptstyle3.\;Kürze\;das\;Ergebnis\atop\scriptstyle\;\;\;so\;weit\;wie\;möglich}\]

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