Die in Aufgabe 1.c gezeichnete Gerade beschreibt den Zusammenhang zwischen der Stückzahl z und dem Stückpreis p.

Gib an, um welchen Funktionstyp es sich handelt.

Gib die allgemeine Form des entsprechenden Funktionsterms an.

✅ Lösung

Der Graph ist eine Gerade. Der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Stückpreis wird also durch eine Lineare Funktion beschrieben.

Die allgemeine Form des Funktionsterms einer Linearen Funktion lautet \(m \cdot x +n\).

💡 Kompetenzen

  • Erkennen einer Geraden als Graph einer Linearen Funktion
  • Nennen des allgemeinen Funktionsterms einer Linearen Funktion

Bestimme den Funktionsterm, der den Graphen beschreibt. Hierfür gibt es zwei alternative Wege. Du solltest beide Wege beherrschen.

1. Berechne mit zwei bekannten Formeln zuerst den Steigungsfaktor \(m\) und dann den Achsenabschnitt \(n\).

❗ Tipp

Sind \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) zwei Punkte einer Geraden, dann berechnet man den Steigungsfaktor \(m\) durch

\(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

und den Achsenabschnitt \(n\) durch

\(n=y_1-m \cdot x_1\)

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✅ Lösung

Wir nutzen die beiden Punkte \({\rm{P}}(13000|2{,}7)\) und \({\rm{Q}}(17000|2{,}3)\), setzen die Koordinaten der beiden Punkte in die Formeln ein und erhalten

\(\begin{array}{l} m = \frac{{2,3 - 2,7}}{{17000 - 13000}} = - \frac{1}{{10000}} = - 0,0001\\n = 2,7 - \left( { - 0,0001} \right) \cdot 13000 = 4\end{array}\)

 

Daher lautet der Funktionsterm \(p(z) = - 0{,}0001 \cdot z + 4\).

💡 Kompetenzen

  • Berechnen der Parameter \(m\) und \(n\) einer Linearen Funktion mit Hilfe von Formeln

2. Berechne den Steigungsfaktor \(m\) und den Achsenabschnitt \(n\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

❗ Tipp

Sind \({\rm{P}}(x_1|y_1)\) und \({\rm{Q}}(x_2|y_2)\) zwei Punkte einer Geraden, dann muss für diese beiden Punkte die Funktionsgleichung wahr sein, d.h. die beiden folgenden Gleichungen müssen erfüllt sein.

\(\left| \begin{array}{l}{y_1} = m \cdot {x_1} + n\\{y_2} = m \cdot {x_2} + n\end{array} \right.\)

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💻 Anleitung

So bestimmst du mit dem TI-Nspire CX II-T CAS aus zwei Punkten (hier \((2|1{,}6)\) und \((8|6{,}4)\)) den Funktionsterm \(f(x)=m \cdot x + n\) einer Linearen Funktion \(f\), so dass die Punkte auf dem Graph (d.h. der Geraden) liegen.

 

✅ Lösung

Wir nutzen die beiden Punkte \({\rm{P}}(13000|2{,}7)\) und \({\rm{Q}}(17000|2{,}3)\), setzen die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung ein und lösen das entstehende Lineare Gleichungssystem.

Rechnerische Lösung

\(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 2{,}7 &= p(13000) \\ 2{,}3 &= p(17000) \end{aligned}} \right.} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 2{,}7 &= m \cdot 13000 + n\\ 2{,}3 &= m \cdot 17000 + n\end{aligned}} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \rightarrow {\rm{I'}}:\; -2{,}7 = -m \cdot 13000 - n \quad }\\{\left| { + {\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 2{,}7 &= m \cdot 13000 + n\\ -0{,}4 &= m \cdot 4000\end{aligned}} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{ \Rightarrow m = \frac{-0{,}4}{4000} = -0,0001}\end{array}}&{\left. {\begin{array}{l}{}\\{}\end{array}} \right\} \Rightarrow n = 2{,}7 + 0{,}0001 \cdot 13000 = 4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 4 &= n \\ -0{,}0001 &= m \end{aligned}} \right.} \end{array}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

p(z):=m*z+n
solve({2.7=p(13000),2.3=p(17000)},{m,n}) → {m=-0.0001, n=4}

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Daher lautet der Funktionsterm \(p(z) = - 0{,}0001 \cdot z + 4\).

💡 Kompetenzen

  • Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(m\) und \(n\) einer Linearen Funktion mit Hilfe von zwei Punkten
  • Berechnen der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen mit dem "linSolve"-Befehl (💻)

Überprüfe dein Ergebnis rechnerisch anhand von zwei Wertepaaren.

❗ Tipp

Setze zwei Wertepaare aus der Tabelle aus Aufgabe 1.b in die Funktionsgleichung ein.

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Interaktive Übungen hierzu (realmath.de)

💻 Anleitung

So prüfst du mit dem TI-Nspire CX II-T CAS, ob Wertepaare (hier \((2|1{,}6)\) und \((8|6{,}4)\)) eine Funktionsgleichung \(y=f(x)\) (hier \(y=-0{,}8 \cdot x + 8\)) erfüllen.

 

✅ Lösung

Einsetzen von \({\rm{P}}(13000|2{,}7)\) und \({\rm{Q}}(17000|2{,}3)\) in die Funktionsgleichung \(p = - 0{,}00001 \cdot z + 4\).

Rechnerische Lösung
\(\begin{array}{l}2{,}7 = - 0{,}0001 \cdot 13000 + 4\quad(\rm{wahr})\\2{,}3 = - 0{,}0001 \cdot 17000 + 4\quad(\rm{wahr})\end{array}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

p(z):=-0.0001*z+4
p(13000) → 2.7
p(17000) → 2.3

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

💡 Kompetenzen

  • Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion erfüllen
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen von Funktionswerten (💻)