Beantworte rechnerisch die vier von Herrn Zickler gestellten Fragen.

Überprüfe die Ergebnisse mit Hilfe des CAS.

"Machen wir bei einer Stückzahl von 9 500 überhaupt Gewinn?"

✅ Lösung

Zur Beantwortung der ersten Frage berechnet man den Funktionswert zur Stelle 9 500, setzt also 9 500 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.

Rechnerische Lösung
\(g\left( 9500 \right) = - 0{,}0001 \cdot 9500^2 + 3{,}2 \cdot {9500} - {24000} = -2625\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
g(9500) → -2625

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Wenn die Firma 9500 Aufkleber verkauft, macht sie keinen Gewinn, sondern einen Verlust von 2625,- €.

💡 Kompetenzen

  • Beantworten von Sachfragen durch mathematische Methoden (einfach)
  • Berechnen eines Funktionswertes einer Quadratischen Funktion
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen eines Funktionswertes (💻)

"Bei welcher Stückzahl machen wir einen Gewinn von 1 000,-€?"

✅ Lösung

Zur Beantwortung der zweiten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 1 000, setzt also den Funktionsterm gleich 1 000 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

Rechnerische Lösung
\(\begin{aligned}g\left(z\right) &= 1000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000 &= 1000 \quad|-1000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -25000 &= 0\end{aligned}\)

 

Diese quadratische Gleichung löst du entweder mit der p-q-Formel

\(\begin{aligned} - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z - 25000 &= 0\quad |:\left( { - 0{,}0001} \right)\\ {z^2} - 32000 \cdot z + {250000000} &= 0\end{aligned}\\ p = - 32000;\;q = 250000000\\ \begin{aligned}{z_{1/2}} &= 16000 \pm \sqrt {{{\left( { - 16000} \right)}^2} - 250000000} \\ {z_{1/2}} &= 16000 \pm 1000 \cdot \sqrt{6}\\ {z_1} &\approx 13551\;\;{z_2} = 18449\\ L &\approx \left\{ {13551;18449} \right\}\end{aligned}\)

 

oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel (Mitternachtsformel)

\(a=-0{,}0001;\;b=3{,}2;\;c=-25000\\ \begin{aligned}{z_{1/2}} &= \frac{{ - 3{,}2 \pm \sqrt {3{,}2^2 - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( {-25000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} & = \frac{{-3{,}2 \pm \sqrt{0{,}24}}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} & \approx 13551\; ; \;{z_2} \approx 18449\\L &\approx \left\{ {13551\,;\,18449} \right\}\end{aligned}\)

 

oder aber durch quadratische Ergänzung

\(\begin{aligned} -0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z - 25000 &= 0 \quad|:(-0{,}0001)\\{z^2} - 32000 \cdot z\, {+\,250000000} &= 0\\{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z + 16000^2 - 16000^2\, {+\,250000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2}\, {+\,60000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2} - \left( 1000 \cdot \sqrt{6} \right)^2 &= 0\\\left( {z - 16000 + 1000 \cdot \sqrt{6}} \right) \cdot \left( {z - 16000 - 1000 \cdot \sqrt{6}} \right) &= 0\\z \approx 13551 &\vee z \approx 18449\\L &\approx \left\{ {13551\,;\,18449} \right\}\end{aligned}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
solve(g(z)=1000,z) → {z≈13551, z≈18449}

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Die Firma macht ungefähr 1000,-€ Gewinn, wenn sie entweder 13551 oder aber 18449 Aufkleber verkauft.

💡 Kompetenzen

  • Beantworten von Sachfragen durch mathematische Methoden (mittel)
  • Berechnen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen der Lösungsmenge einer Gleichung mit dem "solve"-Befehl (💻)

"Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Gewinn?"

✅ Lösung

Zur Beantwortung der dritten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 0, setzt also den Funktionsterm gleich 0 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

Rechnerische Lösung
\(\begin{aligned}g\left(z\right) &= 0\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000 &= 0\end{aligned}\)

 

Diese quadratische Gleichung löst du entweder mit der p-q-Formel

\(\begin{aligned} - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z - 24000 &= 0\quad |:\left( { - 0{,}0001} \right)\\ {z^2} - 32000 \cdot z + {240000000} &= 0\end{aligned}\\ p = - 32000;\;q = 240000000\\ \begin{aligned}{z_{1/2}} &= 16000 \pm \sqrt {{{\left( { - 16000} \right)}^2} - 240000000} \\ {z_{1/2}} &= 16000 \pm \sqrt{16000000}\\ {z_1} &= 12000\;\;{z_2} = 20000\\ L &= \left\{ {12000;20000} \right\}\end{aligned}\)

 

oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel (Mitternachtsformel)

\(a=-0{,}0001;\;b=3{,}2;\;c=-24000\\\begin{aligned}{z_{1/2}} &= \frac{{ - 3{,}2 \pm \sqrt {3{,}2^2 - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( {-24000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} & = \frac{{-3{,}2 \pm \sqrt{0{,}64}}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} & = 12000\; ; \;{z_2} = 20000\\L &= \left\{ {12000\,;\,20000} \right\}\end{aligned}\)

 

oder aber durch quadratische Ergänzung

\(\begin{aligned} -0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z - 24000 &= 0 \quad|:(-0{,}0001)\\{z^2} - 32000 \cdot z \,{+\,240000000} &= 0\\{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z + 16000^2 - 16000^2 \,{+\,240000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2}\,{-\,16000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2} - 4000^2 &= 0\\\left( {z - 16000 + 4000} \right) \cdot \left( {z - 16000 - 4000 } \right) &= 0\\z = 12000 &\vee z = 20000\\L &= \left\{12000\,;\,20000\right\}\end{aligned}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
solve(g(z)=0,z) → {z=12000, z=20000}

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Die Firma macht Gewinn, wenn sie mehr als 12 000 und weniger als 20 000 Aufkleber verkauft.

💡 Kompetenzen

  • Beantworten von Sachfragen durch mathematische Methoden (mittel)
  • Berechnen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Bestimmen der Lösungsmenge einer Gleichung mit dem "solve"-Befehl (💻)
  • Bestimmen der Nullstellen einer Funktion mit dem "zeros"-Befehl (💻)

"Bei welcher Stückzahl machen wir den größten Gewinn, wie hoch ist der dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen?"

✅ Lösung

Zur Beantwortung der vierten Frage bestimmt man die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel. Dazu wandelt man den Funktionsterm zuerst aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um und liest dann die Koordinaten des Scheitelpunktes ab. Schließlich berechnet man den zugehörigen Stückpreis.

Rechnerische Lösung
\(\begin{aligned}g\left( z \right) &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 32000 \cdot z\, {+\,240000000}} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z} + 16000^2 - 16000^2\, {+\,240000000} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{{\left( {z - 16000} \right)}^2}\, {-\,16000000}} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot {\left( {z - 16000} \right)^2} +1600\end{aligned}\)

 

Lösung mit GeoGebra-CAS

g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
completeSquare(g(z)) → \(\frac{{ - 1}}{{10000}}{\left( {z - 16000} \right)^2} + 1600\)

Lösung mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

 

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten \((16000|1600)\).

Da die Parabel wegen \(a=-0{,}0001 < 0\) nach unten geöffnet ist, liegt der größte Funktionswert an der Stelle des Scheitelpunktes, also bei \(z = 16000\) mit dem Funktionswert \(g=1600\).

Wenn die Firma wöchentlich 16000 Aufkleber verkauft, dann ist der Gewinn am größten und beträgt 1600,-€.

Um diesen maximalen Gewinn zu erzielen, muss ein Aufkleber wegen \[p(16000)=-0{,}0001 \cdot 16000 + 4 = 2{,}4\]zum Preis von 2,40€ verkauft werden.

💡 Kompetenzen

  • Beantworten von Sachfragen durch mathematische Methoden (schwer)
  • Umwandeln des Terms einer Quadratischen Funktion aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform
  • Definieren eines Funktionsterms (💻)
  • Umwandeln des Terms einer Quadratischen Funktion aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform mit dem "completeSquare"-Befehl (💻)
  • Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunkts einer Quadratischen Funktion aus dem Term der Scheitelpunktform